Álgebra

Membros

José Alberto Duarte Maia

José Othon Dantas Lopes

José Robério Rogério

Descrição

Teoria algébrica dos Números

Prof. José Othon Dantas Lopes

A Teoria algébrica dos números se desenvolveu a partir dos números racionais e inteiros tendo como um dos principais problemas encontrar soluções inteiras para equações algébricas. A busca de soluçõesinteiras para equações algébricas tem motivado um grande avanço da matemática. Muitos são os problemas famosos nessa direção e que fascinaram os grandes gênios da antiguidade. Euler interessou-se por vários problemas deixados por Fermat, que deixou a maioria dos seus resultados sem demonstração. O estudo de Euler na tentativa de demonstrar alguns problemas deixados por Fermat o levou naturalmente ao interesse em encontrar os números que são congruentes a um quadrado módulo um número primo, os quais chamamos de resíduos quedráticos. Para um dado primo p o problema de decidir quais são os resíduos quadráticos módulo p é simples de ser resolvido, bastando, para isso, testar todos os resíduos quadráticos. O problema mais interessante é decidir para quais primos um dado número é um resíduo quedrático. Este problema levou Euler a descobrir a Lei da Reciprocidade Quadrática. Euler não chegou a demonstrar a Lei da Reciprocidade Quadrática. Legendre, que a descobriu independentemente de Euler, apresentou uma demonstração incompleta. Na verdade foi Gauss, que também a descobriu independentemente, com apenas 17 anos, que conseguiu dar a demonstração completa. Gaus, ao longo de sua vida apresentou mais cinco demonstrações da Lei da Reciprocidade Quadrática.

Por outro lado os números algébricos (raízes de polinômios com coeficientes racionais) surgem de maneira natural como ferramenta para tratar estes problemas. Os inteiros algébricos (números algébricos que são raízes de polinômios mônicos com coeficientes inteiros) de um corpo de números (extensão finita dos racionais) são particularmente interessantes. Sabe-se que o conjunto dos inteiros algébricos de um corpo de números é um anel. A representação geométrica dos ideais ordinários deste anel representa um dos mais fortes elos entre da Teoria Algébrica dos números com vários outros ramos da ciência. A geometria dos números é

atualmente uma parte importante da teoria dos números. Sua origem está nos trabalhos de Minkowski por volta de 1896. O foco desta teoria está na conversão de problemas aritmético em problemas geométricos.

A representação geométrica de qualquer ideal contido no anel de inteiros de um corpo de números de grau n é um reticulado (isto é, um Z-módulo) de posto n no espaço euclidiano n-dimensional. A escolha de ideais que levam a reticulados de altas densidades é um problema desafiante em geometria dos números, tanto do ponto de vista teórico, como prático, por suas aplicações em teoria dos códigos. Temos obtido avanços nesta área, principalmente partindo de ideais de corpos ciclotômicos.

Dado um número inteiro positivo n, a questão de se determinar o corpo de números com grau n de menor discriminante absoluto é um problema clássico em teoria dos números. Temos trabalhado e obtido resultados na investigação dessa questão com a restrição de que o corpo seja um subcorpo de um corpo ciclotômico.

Outras subáreas

Em construção.