Análise
Membros
Prof. José Fábio Bezerra Montenegro
Prof. Raimundo Alves Leitão Júnior.
Prof. José Ederson Melo Braga
Descrição
Equações Diferenciais Parciais
O estudo de Equações Diferenciais Parciais (EDP) iniciou-se no século XVIII com os trabalhos de Euler, d'Alembert, Lagrange e Laplace. A teoria apareceu não só como uma ferramenta central na descrição de fenômenos em Mecânica do Contínuo, mas também como um dos principais instrumentos no estudo analítico de modelos oriundos de problemas físicos. Esta área possui relações estreitas com problemas procedentes da Física, Engenharia e muitas outras disciplinas científicas. Além disso, EDPs têm aparecido recentemente de um modo revolucionário em outras áreas da Matemática produzindo impactos bastante significativos.
O desenvolvimento de boa parte do aparato tecnológico presente em nossa sociedade moderna pode ser visto como um produto de nossa ciência e, desta forma, está intimamente relacionado com o papel fundamental e de grande destaque que as EDPs têm assumido no cenário científico contemporâneo.
A pesquisa em equações Elípticas e Parabólicas encontra-se num estágio bastante desenvolvido dentro da Matemática. Ela é de grande importância devido a suas aplicações numa miríade de outras áreas das ciências aplicadas como dinâmica dos fluídos, fenômenos de transição de fase e na área de matemática aplicada a finanças. Temos presenciado desenvolvimentos robustos nas últimas décadas nas áreas de equações totalmente não lineares, teoria da homogenização e processos de difusão não local. Por sua vez, estes avanços têm promovido efeitos importantes na compreensão de problemas em ciências dos materiais, previsão de valores de commodities e ações no mercado financeiro e, ainda, em fenômenos ligados à teoria da combustão, apenas para citar alguns exemplos.
Problemas de fronteira livre constituem-se numa interessante área de pesquisa que também está muito relacionada com EDPs. Estes problemas são o tema central no estudo de fenômenos onde transição de fase está presente e aparecem naturalmente quando se tenta descrever uma mudança descontínua de comportamento em certas quantidades físicas ou biológicas. Suas aplicações se evidenciam numa pleiade de setores da ciência atual que contemplam problemas de controle ótimo, hidrologia, teoria da plasticidade, problemas de "optimal design" e de supercondutividade. Exemplos típicos destes problemas são a evolução no tempo de uma mistura do tipo água-gelo, problemas de posicionamento de membranas em regiões específicas e a descrição do comportamento de propagação de chamas em modelos envolvendo altas energias de ativação.
As linhas de pesquisa do grupo de EDP na UFC residem numa confluência de áreas dentre as quais podemos citar: equações totalmente não lineares, quasilineares, degeneradas e singulares do tipo Elíptico e Parabólico, cálculo das variações, problemas de fronteira livre, teoria do potencial e teoria geométrica da medida. Os temas de pesquisa no departamento incluem
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Teoria de regularidade de soluções;
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Geometria e regularidade das suas superfícies de nível;
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Comportamento assintótico de soluções;
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Singularidades de soluções.
Análise Funcional Não-Linear
Análise Funcional é uma área de pesquisa em Matemática dedicada ao estudo de problemas relacionados aos espaços de funções ou, mais geralmente, aos espaços vetoriais de dimensão infi nita. Historicamente, ela surgiu por volta de 1887 a partir dos estudos das transformadas de Fourier e das equações diferenciais e integrais realizados por Volterra, Hadamard, Frechet, Riesz e Banach. Seu curso foi propagado por muitos outros matemáticos de renome como Mazur, Hahn, Hilbert, Euler, Lagrange, entre outros. Contrapondo-se ao caráter linear de tais espaços, grande parte dos problemas abordados são de natureza não-linear. Os chamados problemas de existência, comum em várias outras áreas da ciência, estão entre os exemplos mais patentes. O ramo da Análise Funcional responsável pelo estudo de problemas não-lineares é popularmente conhecida por Análise Funcional Não-Linear. Nela confluem várias técnicas da Análise Matemática, como Métodos Abstratos de Aproximação, Técnicas de Pontos Fixos, Métodos de Continuidade e o de Estimativas a Priori, Teoria do Grau, Método Direto do Cálculo das Variações, entre outras.
Um exemplo comum no uso das técnicas de Análise Funcional Não-Linear, consiste em modelar um problema envolvendo equações diferenciais não-lineares num determinado espaço de funções dotado de uma topologia vetorial, com boas características topológicas, e aplicar um teorema de ponto fi xo para mostrar a existência de uma solução para a equação diferencial associada.
Devido a sua importância matemática assim como a sua relevância como ferramenta útil no trato de uma extensa variedade de problemas interessantes, ao longo dos anos esse ramo de pesquisa tem sido impulsionada cada vez mais por novos desa fios. Estes vão desde o seu aperfeiçoamento ao ambicioso desenvolvimento de novas abordagens, entre as quais aquelas motivadas pela necessidade de suprir de ficiências estruturais e/ou topológicas inerentes aos espaços de dimensão infi nita. Dentre as sutilezas associadas, a falta de compacidade local é algo marcante em tais espaços.
Análise Funcional Não-Linear sempre fez parte das pesquisas desenvolvidas no Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará. Historicamente, o referido departamento teve como cerne em pesquisa estudos de problemas oriundos da Geometria Diferencial. Muitos dos quais foram resolvidos mediante tecnicas de EDPs não-lineares e, portanto, mediante o uso de técnicas de análise não-linear como as citadas acima. A partir de 2004 estabeleceu-se nesse departamento o primeiro grupo voltado exclusivamente para o estudo da Análise Funcional Não-Linear e suas Aplicações. Hoje em dia, entre outras, as ênfases dadas em pesquisa por esse grupo são delineadas sob os seguintes tópicos:
- Teoria da Aproximação de Pontos Fixos- Construção de Topologias Vetorias sob Condições Prescritas
- Desenvolvimento de Teoremas de Pontos Fixos em Situações Críticas
- Estudo de Equações Diferenciais em Espaços Vetoriais Topológicos
- Resultados de Existências de Soluções Radiais para EDPs Geométricas
